MATEMATİK: Cebirsel İfadeler

MEB Kazanımlar;

M.7.2.1. Cebirsel İfadeler

M.7.2.1.1. Cebirsel ifadelerle toplama ve çıkarma işlemleri yapar.

Cebirsel ifadelerle toplama ve çıkarma işleminde uygun modeller kullanılır.

M.7.2.1.2. Bir doğal sayı ile bir cebirsel ifadeyi çarpar.

Örneğin 5 (x + 3) = 5x + 15

M.7.2.1.3. Sayı örüntülerinin kuralını harfle ifade eder, kuralı harfle ifade edilen örüntünün istenilen terimini bulur.

a) Adımlar arasındaki farkı sabit olan örüntülerle sınırlı kalınır.

b) Değişken kullanımının önemi ve gerekliliği vurgulanır.

c) Sayı örüntüleri incelenerek örüntünün kuralını bir değişken ile (örneğin n cinsinden) yazmaya yönelik çalışmalar yapılır. Örneğin ilk dört terimi 3, 9, 15 ve 21 olan bir aritmetik örüntünün kuralı 6n–3 olarak ifade edilir.

d) Günlük hayat durumlarında veya şekil örüntülerindeki ilişkileri örüntüye dönüştürerek kuralı bulmaya yönelik çalışmalara da yer verilir.
Günlük hayat durumu örneği: Birinci hafta 7 kelebekle koleksiyona başlayan Emine, sonraki her hafta koleksiyonuna 5 kelebek eklemektedir. Kelebek sayısının hafta sayısıyla ilişkisini cebirsel ifade olarak belirtiniz.

Şekil örüntüsü örneği: Her adımda mevcut altıgenlerden yalnız biriyle ortak kenara sahip olacak şekilde altıgen eklenerek oluşturulan şekil örüntüsünde, altıgen sayısı ile toplam kenar sayısı arasındaki ilişkinin cebirsel kuralı nedir?

BU KONUDA ÖĞRENECEKLERİMİZ

· Cebirsel ifade nedir?

· Cebirsel İfadenin Hayatımızdaki Yeri

· Cebirsel İfadelerde Toplama İşlemi

· Cebirsel İfadelerde Çıkarma İşlemi

· Cebirsel İfadelerde Çarpma İşlemi

Cebirsel İfade Nedir?

Bir harfin veya değişkenin belirli bir pozitif tam kuvvetinin bir rasyonel sayı katı olan terimlerin çapımı, toplamı veya farkına Cebirsel İfade denir. Diğer bir deyişle içinde en az bir bilinmeyen bulunan ve işlem içeren ifadelere Cebirsel İfade denir.

gibi ifadeler cebirsel ifadelere örnek verilebilir.

CEBİRSEL İFADELERİN KULLANILDIĞI ALANLAR:

· Fen bilimleri

· Mühendislik

· Mantık Tabanlı İstatistiksel Çalışmalarda

· Okullarda

Cebirsel İfadelerin Hayatımızdaki Yeri:

Yaşımın 3 eksiği ⇒ y – 3
Paramın 3 katının 7 fazlası ⇒ 3.p + 7
Karenin çevresi ⇒ 4a
Dikdörtgenin çevresi ⇒ 2a + 2b
Bir sayının küpü ⇒ s³
Çeşitkenar üçgenin çevresi ⇒ a+b+c
Benim ve arkadaşımın toplam parası ⇒ x+y
Eşkenar üçgenin çevresi ⇒ a+a+a=3a

CEBİRSEL İFADELERDE TOPLAMA İŞLEMİ:

Cebirsel ifadelerde toplama işlemi yapılırken;

1. Benzer terimler bir araya getirilir yani gruplandırılır.

2. Bir araya getirilen terimler ortak çarpan parantezine alınarak işleme devam edilir.

Bilgi Kutusu:

· 2x cebirsel ifadesinde; x e değişken, 2ye bu terimin katsayısı denir.

· Bir cebirsel ifadede harfleri ve harflerin kuvvetleri aynı olan terimlere benzer terim denir. Benzer terimlerin katsayılarının aynı ya da farklı olması önemli değildir.

6x+9+8x+11+25x+7+3x cebirsel ifadesini düzenleyecek olursak x’li terimleri kendi arasında diğer terimleri ise kendi arasında topladığımızda (6x+8x+25x+3x)+(9+11+7) elde ederiz. Sonuç kısmına gelecek olursak 42x+27 cebirsel ifadesini elde ederiz.

ÖRNEK: b + 3b + a ifadesini en sade şekilde yazınız. (Verilen işlemleri yapınız.)
ÇÖZÜM: b + 3b + a ifadesinde üç tane terim var. Bu terimlerden b ve 3b terimi benzer terimlerdir dolayısıyla toplayabiliriz.
b + 3b = 4b eder (1 biber + 3 biber = 4 biber).
Fakat 4b ile a yı toplayamayız. Çünkü benzer terim değiller. Bu durum biberlerle armutu toplamaya benzer.
b + 3b + a = 4b + a ifadesinin eşiti budur.

CEBİRSEL İFADELERDE ÇIKARMA İŞLEMİ:

Cebirsel ifadelerle çıkarma işlemi toplama işleminde olduğu gibi benzer terimlerin katsayıları arasında yapılır.

Bilgi Kutusu:

· Parantezin önündeki; “-“ işareti parantezin içindeki terimlerin işaretini değiştirir.

ÖRNEK: (5x-2) – (2x-3) işlemini en sade biçimde yazınız.
ÇÖZÜM: (5x-2)- (2x-3) = 5x-2-2x-(-3)
= 5x-2-2x+3
= 5x-2x-2+3 (Benzer terimleri belirledik.)
= (5-2)x + (-2+3)
= 3x + 1 ifadenin en sade halidir.

CEBİRSEL İFADELERDE ÇARPMA İŞLEMİ:

· Bir terimli bir ifadeyle bir terimli bir ifadeyi çarpmak;
Katsayılar çarpılıp katsayı olarak, bilinmeyenler çarpılıp bilinmeyen olarak sonuca yazılır.

ÖRNEK:5 ile 3x ifadesini çarpalım.
ÇÖZÜM: 5 sayısı ile 3x’in katsayısı olan 3 çarpılır ve x’in yanına katsayı olarak yazılır.
3 . 5x = 15x

ÖRNEK: 6x ile 3y’yi çarpalım.
ÇÖZÜM: Katsayılar çarpımı ->6 . 3 = 18
Bilinmeyenler çarpımı ->x.y =xy
6x . 3y = 18xy

· Bir terimli bir ifadeyle iki terimli bir ifadeyi çarpmak;
Bir terimlideki terim diğer iki terimle çarpılır ve en son varsa sadeleştirme yapılır.

ÖRNEK:4 . (3x + 5y) işlemini yapalım.
ÇÖZÜM: Tek terimli 4, diğer iki terimli ayrı ayrı çarpılır.(Toplama işleminde dağılma özelliği)
4. 3x + 4. 5y = 12x + 20y

ÖRNEK: -3x . ( 2x + 5) işleminde de aynı şekilde 2x’i ve 5’i sırayla -3x ile çarparız.
ÇÖZÜM: -3x . ( 2x + 5) = (-3x . 2x) + (-3x . 5)
= (-6x2) + (-15x)

· İki terimli bir ifadeyle iki terimli bir ifadeyi çarpmak;

İlk çarpandaki her bir terim ile ikinci çarpandaki her bir terim ayrı ayrı çarpılır. Sonra sadeleştirme yapılır.

ÖRNEK: (3x+1) . (4x+3) işlemini yapalım.
ÇÖZÜM:İlk ifadedeki 3x’i diğer ifadedeki 4x ve 3 ile ayrı ayrı çarpacağız. Benzer şekilde +1’i diğer ifadedeki 4x ve 3 ile ayrı ayrı çarpacağız.
=(3x.4x) + (3x.3) + (1.4x) + (1.3)
= 12x2 + 9x + 4x + 3 (9x ve 4x benzer olduğu için toplanır.)

= 12x2 + 13x + 3

CEBİRSEL İFADELERDE ÇARPMA İŞLEMİ MODELLEMESİ:

ÖRNEK:(x+3) . (x+1) = x2+ 4x + 3

ÖRNEK: (x+3) . (x+3) = x2 + 6x + 9

ÖRNEK: 2x.(x-1) = 2x2 - 2x

ÖRNEK: x. (2x – 2) = 2x2 - 2x

Yukarıdaki dikdörtgenin uzun kenar kısa kenarın 2 katı ise ve kısa kenar a uzunluğunda ise dikdörtgenin çevresi kaçtır?

Çözüm:
Kısa kenar = a ise uzun kenar = 2a olur.
Dikdörtgenin çevresi = 2.(kısa kenar + uzun kenar) = 2.( a + 2a) = 2. 3a = 6a

2. 3x-5 cebirsel ifadesinin x = 3, x = 5 ve x = 7 için alacağı değerleri bulunuz.
Çözüm:
x = 3 için 3.3 – 5 = 9 – 5 = 4
x = 5 için 3.5 – 5 = 15 – 5 = 10
x = 7 için 3.7 – 5 = 21 – 5 = 16

3. Mehmet Akif Ersoy Okulu’nda 12x + 5 öğrenci vardır. Süleyman Demirel Okulu’nda ise Mehmet Akif Ersoy Okulu’ndaki öğrenci sayısının 3 katı kadar öğrenci vardır. Buna göre, bu iki okuldaki toplam öğrenci sayısını bulunuz.
Çözüm:
Mehmet Akif Ersoy Okulu = 12x + 5
Süleyman Demirel Okulu = 3. (12x + 5) = 3. 12x + 3. 5 = 36x + 15
Toplam = 12x + 5 + 36x + 15 = 12x + 36x + 5 + 15 = 48x + 20

4. 3x – (2x-3) + 3.(7-x) cebirsel ifadesinin en sade eşdeğerindeki sabit terimi bulunuz.
Çözüm:
3x – (2x-3) + 3.(7-x) = 3x – x + 3 + 21 – 3x
= 3x – x - 3x + 3 + 21
= - x + 24
Bu durumda, verilen cebirsel ifadenin en sade eşdeğerinde sabit terimin +24 olduğu görülür.

5. Efe hafta içi günleri her gün (3x+5) km, hafta sonu günlerinde ise günde (5x -2) km koşmaktadır. Buna göre, Efe’nin bir haftada toplam haç km koştuğunu bulunuz.

Çözüm:
Efe hafta içi her gün (3x + 5) km koştuğuna göre, 5 gün toplam;
5.(3x + 5) = 5.3x + 5.5 = 15x + 25 km koşar.
Efe hafta sonu her gün (5x-2) km koştuğuna göre, 2 gün toplam;
2.(5x - 2) = 2.5x – 2.2 = 10x – 4 km koşar.
Buna göre, Efe bir haftada toplam;
15x + 25 + 10x – 4 = (15 + 10)x + (25 – 4) = 25x + 21 km koşmaktadır.

Şekilde verilen ABCD dikdörtgeninin alanını cm cinsinden gösteren cebirsel ifadeyi bulunuz.
Çözüm:
Dikdörtgenin alanını bulabilmek için kenar uzunluklarını çarparız. Bu dikdörtgenin kenar uzunlukları x ve y + 2 olduğu için bu iki ifadeyi çarparak sonucu bulabiliriz.
x.(y + 2) = xy + 2x

7. (8x + 5) . (7x – 3) işleminin sonucu olan cebirsel ifadede x’in katsayısı kaçtır?

Çözüm:
İki ifadedeki her bir terimi ayrı ayrı çarparsak;
(8x.7x) – (8x.3) + (5.7x) – (5.3) = 42x2 – 24x + 35x – 15 = = 42x2 + 11x – 15

Burada x’in katsayısının +11 olduğu görülür.

8. (-3x + 4) . (2x – 5) işleminin sonucunu bulunuz.

Çözüm: Dağılma özelliğini kullanarak çarpma işlemini yapalım.
(-3x + 4) . (2x – 5) = -6x2 + 15x + 8x – 20

= -6x2 + 23x – 20

9. (5x – 3) - 3(x-7) + (-3x) cebirsel ifadesinin en sade eşdeğerini bulunuz.

Çözüm: İlk önce çarpma işlemini yapalım.
Dikkat! Parantez için negatif bir sayı ile çarpılıyor ise dikkat ediniz.
(5x – 3) - 3(x-7) + (-3x) = 5x – 3 – 3x + 21 – 3x
= 5x – 3x – 3x + 21 – 3
= -x +18

10. Kısa kenar uzunluğu 2x – 5, uzun kenar uzunluğu 4x – 7 olan bir dikdörtgenin çevre uzunluğunu gösteren cebirsel ifadeyi yazınız.

Çözüm: Dikdörtgenin çevre formülü = 2.(a + b)
Kısa kenar ile uzun kenarı topladıktan sonra 2 il çarparak dikdörtgenin çevre uzunluğunu bulabiliriz.
(2x – 5) + ( 4x + 7) = 2x + 4x – 5 +7 = 6x + 2
Çevre = 2. (6x + 2) = 12x + 4

11. (x + 3) . (2x – 4) + 7 cebirsel ifadesinin en sade eşdeğerinin katsayılar toplamını bulunuz.

Çözüm: İlk önce parantez içindeki ifadeleri çarpalım.
(x + 3) . (2x – 4) = 2x2 - 4x + 6x – 12
2x2 - 4x + 6x – 12 + 7 = 2x2+ 2x – 5 sonucunu elde ederiz.
Bu ifadenin katsayıları +2, +2 ve -5’tir. O halde;
2 + 2 – 5 = - 1

12. X= -2 için, 4x2+ 6x + 12 cebirsel ifadesinin değerini bulunuz.

Çözüm: x = -2 değerini ifade de yerine yazalım.
= 4x2+ 6(-2)+ 12
=4. 4 – 12 + 12
=16 – 12 + 12
= 16

13. 1. 4x2- 3x + 4 + 5y cebirsel ifadesinin baş katsayılar toplamı ile sabit terimi çarpımını bulunuz.

Çözüm: Verilen ifadenin katsayılar toplamı;
= 4 – 3 + 4 + 5
=10
Sabit terimi ise 4’tür.
Katsayılar toplamı ile sabit terim çarpımı;
10 . 4 = 40

SORULAR