ÇOKGENLER

MEB kazanımlar;

M.7.3.2.Çokgenler

M.7.3.2.1. Düzgün çokgenlerin kenar ve açı özelliklerini açıklar.

    Yalnızca dışbükey çokgenler incelenir.

M.7.3.2.2. Çokgenlerin köşegenlerini, iç ve dış açılarını belirler; iç açılarının ve dış açılarının ölçüleri toplamını hesaplar.

     İç açılar toplamını keşfetmeye yönelik çalışmalara yer verilir.

M.7.3.2.3. Dikdörtgen, paralelkenar, yamuk ve eşkenar dörtgeni tanır; açı özelliklerini belirler.

  a) Kenarların oluşturduğu açılarla birlikte eşkenar dörtgen, kare ve dikdörtgende köşegenlerin oluşturduğu açılar da incelenir.

  b) Kare, dikdörtgenin ve eşkenar dörtgenin özel bir durumu olarak ele alınır. Bunun yanı sıra dikdörtgen ve eşkenar dörtgen, paralelkenarın özel halleri olarak ele alınır. Ayrıca dikdörtgen, eşkenar dörtgen ve paralelkenar da yamuğun özel durumları olarak ele alınır.

M.7.3.2.4. Eşkenar dörtgen ve yamuğun alan bağıntılarını oluşturur, ilgili problemleri çözer.

M.7.3.2.5. Alan ile ilgili problemleri çözer.

   a) Üçgen, dikdörtgen, paralelkenar, yamuk veya eşkenar dörtgenden oluşan bileşik şekillerin alanlarını bulmayı gerektiren problemlere yer verilir.

   b) Dikdörtgenin çevre uzunluğuyla alanını ilişkilendirmeye yönelik çalışmalara yer verilir. Aynı alana sahip farklı dikdörtgenlerin çevre uzunlukları ile aynı çevre uzunluğuna sahip farklı dikdörtgenlerin alanları incelenir.

1.      Çokgenlerin Köşegenleri, İç ve Dış Açıları

Yelkenli gemi ve tekneler, çok eski yıllardan beri kullanılmaktadır. Bu tür gemi ve tekneler, hızlarını yelkenler yardımıyla arttırır. Bu gemilerde yer alan dörtgen şeklindeki yelkenler hız arttırmada üçgen şeklindeki yelkenler ise yön tayininde kullanılır. Siz de dörtgenlerin kullanıldığı yerleri araştırınız.

Tangramın Hikayesi

    Eskiden, Çin’de Tan adlı zengin bir adam yaşarmış. Tan’ın çok güzel bir tabağı varmış. Bir gün kralın kasabaya geleceğini duyan Tan, bu değerli tabağı krala hediye etmek istemiş. Parlatırken yere düşen tabak yedi parçaya ayrılmış. Tan, parçaları bir araya getirerek kare şeklinde porselen elde etmeye çalışmış. Bu işlemi yaparken 7000’den fazla değişik şekil elde edebileceğini fark etmiş. Beş tane üçgen, bir kare ve bir paralelkenardan oluşan tangram bulmacası böylece ortaya çıkmış.

 Tangramı oluşturan çokgensel bölgelerin adlarını söyleyiniz.

Şimdi tangramla çok eğlenceli bir etkinlik yapalım.

ETKİNLİK: Aşağıda dört çeşit tangram bulmacası var. Bu bulmacalar kolay, orta düzey ve zor olmak üzere üç zorluk seviyesinde. Tangram parçalarını kullanarak bu etkinliği yapınız.

ETKİNLİK:

Araç ve Gereçler: Geometri tahtası, paket lastiği, noktalı veya izometrik kağıt, cetvel.

·         Geometri tahtası üzerinde paket lastiği ile çokgen modeli oluşturunuz.

·         Oluşturduğunuz çokgen modelini noktalı kağıda çiziniz.

·         Çokgenin iç bölgesindeki açıları işaretleyiniz.

·         İşaretlenen açıların bütünler açılarını şekil üzerinde gösteriniz.

Çokgenin her bir köşesinden ardışığı olmayan diğer köşelere doğru parçaları çiziniz. Bu doğru parçalarına ne ad verilebileceğini düşün.

 Çokgenler de iki kenarın kesişimi sonucu iç bölgede oluşan açılara iç açılar denir. Bir kenarın uzantısıyla komşu kenarın dış bölgede oluşturduğu açıya dış açı denir.

  Bir çokgenin ardışık olmayan iki köşesini birleştiren doğru parçasına köşegen denir. Alttaki çokgende [DA ] ve [ DB ] köşegendir. 

ETKİNLİK:

 Beşgenin iç açılarının ölçüleri toplamını bulabilmek için aşağıdaki adımları uygulayınız.

·         Defterinize bir ABCDE beşgeni çiziniz.

·         Beşgenin A köşesinden geçen köşegenleri çiziniz.

·         ABCDE beşgeninde oluşan üçgenlerin sayısından ve üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamından yararlanarak ABCDE beşgeninin iç açılarının ölçüleri toplamını bulunuz.

ÖNEMLİ!!!

v n kenarlı bir çokgenin bir köşesinden ( n-3 ) tane köşegen çizilebilir.

v n kenarlı bir çokgenin bir köşesinden köşegenler çizerek ( n-2 ) tane üçgen elde edilebilir.

v  n kenarlı bir çokgenin iç açılarının ölçüleri toplamı (n-2).180°

 dir.

v  Bir çokgenin aynı köşesine ait iç açısı ile dış açısı bütünlerdir. x+y = 180°

 dir.

ÖRNEK1:

Bir ongenin bir köşesinden çizilen köşegen sayısını bulalım.

Çözüm: Ongenin kenar sayısı n=10’ dur.

                 Ongenin bir köşesinden çizilen köşegen sayısı = n- 3

                                                                                            = 10-3

                                                                                            = 7 olur.

ÖRNEK2:

Bir dokuzgenin bir köşesinden çizilen köşegenlerin oluşturduğu üçgen sayısını bulalım.

Çözüm: Dokuzgenin bir köşesinden geçen köşegenlerin oluşturduğu üçgen sayısı=n-2

                                                                                                                                     =9-2

                                                                                                                                     =7 olur.

ÖRNEK3: Aşağıda verilen çokgende x’ in kaç derece olduğunu bulalım.

Çözüm:

ÖRNEK 4:

İç açıları ölçüleri toplamı 1080 olan çokgenin kaç kenarı olduğunu bulalım.

ÖRNEK 5:

Aşağıda verilen çokgenlerin dış açılarının ölçülerini ve ölçülerinin toplamını bulunuz.

  

Çözüm: Verilen çokgenlerin her bir dış açısının ölçüsünü bulmak için o köşedeki iç açıdan yararlanalım. Bunun için verilen her bir iç açıyı 180 den çıkararak o açıya ait dış açıyı bulalım 

                       
                       180-70=110°

                  

                       180-60=120°

                       180-50=130°

                         180-85=95°

                            180-130=50°

                            180-110=70°

                            180-95=85°

ABC üçgeninin dış açılarının ölçüleri toplamı: 110+120+130°

                                                                                                =360°

KLMNR beşgeninin dış açılarının ölçüleri toplamı: 60+95+50+70+85=360°

Verilen çokgenlerin her ikisinin dış açılarının toplamlarının 360°

olduğu görülmektedir.

NOT:

ÇOKGENLERİN HAYATIMIZDAKİ YERİ

Doğada hiçbir yerde dikdörtgene rastlanmaz ama şehirlerde her yerdedir. Pencereler, kapılar, futbol sahaları, binalar, eşyalar hep dikdörtgen biçimindedir. Dikdörtgen; yatay ve dikey hatları ve dik açılarıyla sağlamlığın ve dengenin sembolüdür.

Tasarımcılık alanında geometri kısmen işe yarar. Daha çok oran, şekil ve paralelliklerin önem kazandığı logo ve amblem tasarımında kullanılır. Tabiattaki geometrik şekilleri fark eden insanlar geometriyi hayatlarında uygulamışlardır. Zamanla logo ve amblemler ortaya çıkınca insanlar logo ve amblemlere de geometrik anlamlar yüklemişlerdir. Bunun sonucunda da umursamadığımız en basit bir amblem dahi geometrik bir eser haline gelmiştir.

 

 
 

DÜZGÜN ÇOKGENLER

           Arı peteğinin temel maddesi bal mumudur. Arılar, bal mumunu karınları altında yer alan salgı bezlerinden salgılarlar. Bak-l mumu üretimi arılar için çok fazla enerji gerektiren bir işlemdir. Arılar, bu işlemi en kolay ve en sağlam şekilde yapmak için en peteğin dayanıklılığının en yükseğe çıkmasını sağlar. Ayrıca bu şekil en az malzemeyle en çok balın depolanması için idealdir. 

TANIM: Bütün kenar uzunlukları ve bütün iç açılarının ölçüleri birbirine eşit olan çokgenlere düzgün çokgen denir.

Düzgün çokgenler hayatımızın birçok alanında karşımıza çıkar. Örneğin; fayanslarda, dambıl da, bal peteğinde, halı desenlerinde, örümcek ağında, pencerelerde…

DÜZGÜN ÜÇGEN

·      İç açıları toplamı 180°

          ·    Üç köşesi, üç eş kenarı ve üç eş açısı vardır.

       ·    Her bir iç açısı 60°

DÜZGÜN DÖRTGEN

     

·       İç açıları toplamı 360°

·       Dört köşesi, dört eş kenarı ve dört eş açısı vardır.

·     Her bir kenarı 90°

DÜZGÜN BEŞGEN:

    ·     İç açıları toplamı 540°

    ·     Beş köşesi, beş eş kenarı, beş eş açısı var

    ·     Her bir açısı 108°

DÜZGÜN ALTIGEN:

    ·     İç açıları toplamı 720°

   ·      Altı köşesi, altı eş kenarı, altı eş açısı var.

   ·     Her bir açısı 120°

ÖRNEK: Aşağıdaki şekillerin açı özelliklerini ve kenar uzunluklarını inceleyiniz.

Yukarıdaki ABCDEF, GHIJK, LMNO, TUV çokgenlerinin her birinde bütün açı ölçüleri ve kenar uzunlukları birbirine eşittir.

ABCDEF düzgün altıgendir.

GHIJK düzgün beşgendir.

LMNO düzgün dörtgendir. (kare)

TUV düzgün üçgendir. (eşkenar üçgen)

Görüldüğü gibi kenar uzunlukları ve açı ölçüleri eşit olmadığından PRSŞ dörtgeni ile XYZ üçgeni düzgün çokgen değildir.

ETKİNLİK:

Tabloda verilen düzgün çokgenlerle ilgili istenen bilgileri boş kutucuklara yazınız.

	Eşkenar Üçgen	Kare	Düzgün Beşgen	Düzgün Altıgen
İç Açılar Toplamı
Bir İç Açısı Ölçüsü
Dış Açılar Toplamı
Bir Dış Açısı Ölçüsü
Bir İç Açı ile Bir Dış Açısının Ölçüleri Toplamı

                 DÖRTGENLER

                                                                                                  

 Yandaki ev maketinin yüzeylerinde çeşitli geometrik şekillerin ortak özelliklerinin neler olduğunu açıklayınız.

22.09.1983 tarihinde kabul edilen 2893 Sayılı Bayrak Kanunu’nda Türk bayrağının şekli, yapımı ve korunması ile ilgili esas usullar belirtilmiştir. Buna göre Türk bayrağı, kısa kenarı uzun kenarına oranı 2:3 olan dikdörtgendir.

KARE:

         Karşılıklı kenarları paralel, tüm kenar uzunlukları eşit olup tüm iç açıları 90  olan dörtgene kare denir.

     ·        Karşılıklı kenarları paraleldir. Tüm kenar uzunlukları eşittir.

       [AD]//[BC] , [AB]//[DC]  ve |AD|=|DC|=|CB|=|AB|

     ·     İç açılarının ölçüsü 90 dir.

     ·         Köşegen uzunlukları birbirine eşittir. Köşegenler birbirini ortalar ve dik kesişir.

     ·         Köşegenler açıortaydır.

DİKDÖRTGEN:

Karşılıklı kenarları paralel ve eş olup tüm iç açıları 90 olan dörtgene dikdörtgen denir.

·            Karşılıklı kenarları paralel ve eşit uzunluktadır.

         [AD]//[BC], [AB]//[DC]  ve  |AD|=|BC|  |DC|=|AB|

·     İç açılarının ölçüsü 90 dir.

·         Köşegen uzunlukları birbirine eşittir ve bu köşegenler birbirini ortalar.

EŞKENAR DÖRTGEN:

Tüm kenar uzunlukları eşit ve karşılıklı kenarları paralel olan dörtgene eşkenar dörtgen denir.

·          |AB|=|BC|=|CD|=|DA|

·         [AB]//[DC]  ve [AD]//[BC]

·         Eşkenar dörtgenin karşılıklı açılarının ölçüleri eşittir.

·         Eşkenar dörtgende ardışık açılar bütünlerdir.

·         Eşkenar dörtgenin köşegenleri birbirini dik ortalar.

·         Eşkenar dörtgende köşegenler ait olduğu köşelerdeki açıların açıortaylarıdır.

PARALELKENAR:

Karşılıklı kenarları eş ve paralel olan dörtgene paralelkenar denir.

·         |AD|=|BC|  , |DC|=|AB|

·         [AD]//[BC]  ,  [DC]//[AB]

·         Paralelkenarın karşılıklı açıları eşittir.

·         Paralelkenarda ardışık açılar bütünlerdir.

·         Paralelkenarın köşegenleri birbirini ortalar.

·         Paralelkenarda köşegenler ait olduğu köşelerdeki açıların açıortayı değildir.

YAMUK:

Karşılıklı kenar çiftlerin en az biri paralel dörtgene yamuk denir.

   [AB]//[DC]

·     Yamukta paralel olmayan kenarlara ait taban ve tepe acılarının toplamı 180 dir.

·         Paralel olmayan kenar uzunlukları eşit olan yamuğa ikizkenar yamuk denir.

·         Bir kenarı tabanlara dik olan yamuğa dik yamuk

denir.

       ETKİNLİK:                                                                                                                                                                                                                  

Köşegen Şeritleri

Bu etkinlik için 2 cm genişliğinde üç adet mukavvadan şeritlere ihtiyacımız var.

Şeritlerimizin ikisi aynı uzunlukta (yaklaşık 20 cm) ve üçüncüsü biraz daha kısa (yaklaşık 20 cm) olmalıdır. Şerit boyunca birbirine eşit mesafede dokuz delik açınız. İki şeridi birleştirmek için bir raptiye kullanınız. Aşağıdaki şekilde de gösterildiği gibi deliklerin uç kısımlarını birleştirerek bir dörtgen oluşturunuz.

Buradaki göreviniz farklı çokgenler üreterek köşegenlerin özelliklerini belirmek için şeritleri kullanmaktır. Her bir köşegenin uzunluğunu, nereden geçtiğini ve birbirleriyle yaptıkları açıları dikkate alınız.

Hangi şartlar paralelkenar, dikdörtgen, eşkenar dörtgen sonucunu oluşturur?

UNUTMA!!!

v  Kare tüm kenarları eşit ola bir dikdörtgendir.

v   Kare tüm iç açıları 90 olan bir eşkenar dörtgendir.

v  Dikdörtgen, tüm iç açıları dik olan bir paralelkenardır.

v  Eşkenar dörtgen, tüm kenar uzunlukları eşit olan bir paralelkenardır.

v  Kare, dikdörtgen, eşkenar dörtgen ve paralelkenar aynı zamanda birer yamuktur

  ETKİNLİK: Baloncukların içindeki boşluklara gelmesi gereken uygun dörtgen isimlerini yazınız. Boşluklara birden fazla dörtgen ismi gelebilir.

Eşkenar Dörtgenin Alanı

• Eşkenar dörtgeni paralel kenar gibi düşündüğümüzde alanını paralel kenarın alanını hesaplıyormuş gibi hesaplayabiliriz.

                                                    

• Eşkenar dörtgenin alanını, köşegen uzunluklarının çarpımını ikiye bölerekte bulabiliriz.

 

Yamuğun Alanı

• Yamuğun alanı, alt ve üst taban uzunluklarının toplamının yükseklik ile çarpımının yarısına eşittir.                      

KEŞFETME ZAMANI

Doğru mu? Yanlış mı?

	D	Y
• Şekil kare ise o zaman bir eşkenar dörtgendir.
• Bütün kareler dikdörtgendir.
• Bazı paralelkenarlar, dikdörtgendir.
• Bütün paralelkenarların eş köşegeni vardır.
• Bir şekil iki doğru simetrisine sahip ise bir dörtgen olmak zorundadır.
• Karenin köşegen uzunlukları birbirine eşittir.
• Paralelkenarın köşegenleri birbirine diktir
• Eşkenar dörtgenin köşegenleri açıortaydır
• Dikdörtgenin köşegenleri açıortaydır.

» Bu konuyu daha iyi kavrayabilmek için 2 tane materyal örneğimiz var.

ÇOKGENLER İÇİN BULMACA

RUTİN OLMAYAN SORULAR

KAYNAKÇA

Van de Walle, J. A., Karp, K. S., Bay-Williams, J. M. (2019). İlkokul ve Ortaokul Matematiği: Gelişimsel Yaklaşımla Öğretim, (çeviri). Ankara: Nobel Yayıncılık.

Altıntaş, S. ve Keskin, C. (2019). Matematik 7. Sınıf Ders Kitabı, Ankara: Eğitim Yayıncılık.

Keskin, A. ve Öztürk, S. (2019). Matematik 7. Sınıf Ders Kitabı, Ankara: MEB Yayıncılık.

Göksu, F. C. (2014). Doğrular, Açılar ve Çokgenler Konularının Kavram Karikatür Destekli Yapılandırmacı Öğrenme Yaklaşımına Göre İşlenmesi, (Yüksek Lisans Tezi), PAÜ, Eğitim Bilimleri Enstitüsü, Denizli.

https://odsgm.meb.gov.tr/www/7-sinif-beceri-temelli-testler/icerik/490

https://images.app.goo.gl/vfpx8uZvmUc7dA559

https://prezi.com/atcwzktxn47k/kenar-cevre-alan-iliskisi/

https://www.matematikkafe.com/?Syf=18&Hbr=1040049

https://www.derslig.com/icerik-detay/dokuman/3210-eskenar-dortgen-ve-yamugun-alani

HAZIRLAYANLAR

Ayşe Büşra KARABACAK 1711210019

Tuğçe ÖZDEMİR 1711210038

İlköğretim Matematik Öğretmenliği 3/B