BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER

M.7.2.2. Eşitlik ve Denklem

Terimler veya kavramlar: eşitlik, derece, bilinmeyen, denklem

M.7.2.2.1. Eşitliğin korunumu ilkesini anlar.

a) 7 + 2 = +3 gibi eşitliklerin bozulmaması için yerine gelecek sayıyı bulmaya yönelik çalışmalar yapılır.

b) Ekleme ve çıkarma durumlarında eşitliğin korunduğunu göstermek için terazi veya benzeri denge modellerine yer verilir.

c) Eşitliğin her iki tarafına aynı sayının eklenmesi veya çıkarılması ve iki tarafın aynı sayıyla çarpılması veya bölünmesi durumunda eşitliğin korunması ele alınır.

M.7.2.2.2. Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemi tanır ve verilen gerçek hayat durumlarına uygun birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem kurar.

M.7.2.2.3. Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemleri çözer.

Denklemlerdeki katsayılar tam sayılardan seçilir.

M.7.2.2.4. Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem kurmayı gerektiren problemleri çözer.

BU KONUDA ÖĞRENECEKLERİMİZ:
√ Denklem Nedir?
√ Denklem Nasıl Kurulur?
√ Denklem Nasıl Çözülür?

DENKLEMLER

İçinde bilinmeyen bulunan eşitliklere denklem denir. İçinde bir tane bilinmeyen bulunan denklemlere bir bilinmeyenli denklemler denir.
Denklemlerde sembollerle temsil edilen değişkenlere bilinmeyen denir.
Bir denklemde bilinmeyeni bulmak için yapılan işlemlere denklem çözme denir.
Denklemi doğru yapan bilinmeyenin değerine denklemin çözümü denir. Buna denklemin kökü de denir.
Denklemin köklerini bir kümeye yazmaya da çözüm kümesi denir.

BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER

Denklemin derecesi denklemdeki bilinmeyenin kuvvetidir.

5x + 12 = 128 denkleminde x’in kuvveti (üssü) 1 olduğu için bu denklem birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemdir.

3x² − 2 = 734 denkleminde x’in kuvveti (üssü) 2 olduğu için bu denklem ikinci dereceden bir denklemdir.

İçinde bir tane bilinmeyen bulunan birinci derece denklemlere birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler denir.

DENKLEM KURMA

Daha önce cebirsel ifadeleri ve belirli durumlara uygun cebirsel ifade yazmayı öğrenmiştik. Bu konumuzda ise belirli durumlara uygun denklem nasıl kurulur öğreneceğiz.

ÖRNEK: Aşağıdaki durumlara uygun denklem kuralım.

∇ Bir miktar paranın 2 katının 10 TL fazlası 52 liradır.

Paranın miktarını bilmediğimiz için bilinmeyenimiz olan bu paraya p diyelim.

2.p + 10 = 52

∇ Bir sayının 10 katının 7 eksiği 13’e eşittir.

Burada sayıyı bilmediğimiz için bilinmeyenimiz olan bu sayıya x diyelim.

10.x − 7 = 13

∇ Bir miktar şekerin 10 fazlasının 3 katı 120’ye eşittir.

Burada şeker sayısını bilmediğimiz için bilinmeyenimiz olan şekerlere a diyelim.

(a + 10) . 3 = 120

EŞİTLİK ve DENKLEM ÇÖZME

Denklem çözerken amacımız bilinmeyeni eşitliğin bir tarafında yalnız bırakmaktır. Bunun için bilinmeyenleri eşitliğin bir tarafına, bilinen sayıları eşitliğin diğer tarafına toplarız. Daha sonra bilinmeyeni yalnız bırakırız.

Eşitlik “=” sembolü ile gösterilir. Eşitliğin solunda ve sağında bulunan ifadeler birbirine eşittir.

Denklemleri çözerken terazi modeli düşünebiliriz. Eşitliğin bir tarafını terazinin bir kefesi, diğer tarafını terazinin diğer kefesi düşünelim. Eşitlik terazinin dengede olduğu anlamına gelir. Dengede olan bir terazinin her iki tarafına aynı şeyi koysak denge bozulmaz. Aynı şekilde dengedeki terazinin her iki kefesinden aynı ağırlığı çıkartırsak da denge bozulmaz. Bu şekilde bu işlemleri yaparak terazinin bir kefesinde ağırlığını bilmediğimiz cismi, diğer kefesinde ağırlığını bildiğimiz cismi bırakırız ve ağırlığını bilmediğimiz cismin ağırlığını bulmuş oluruz.

Bu işlemleri yaparken:

∇ Eşitliğin her iki tarafına aynı sayı eklenebilir.

∇ Eşitliğin her iki tarafından aynı sayı çıkartılabilir.

∇ Eşitliğin her iki tarafı aynı sayı ile çarpılabilir.

∇ Eşitliğin her iki tarafı aynı sayıya bölünebilir.

Bu işlemleri daha pratik yapmak için şöyle de yapabiliriz:

Toplam durumundaki + işaretli sayılar eşitliğin diğer tarafına geçerken − olur.

Toplam durumundaki − işaretli sayılar eşitliğin diğer tarafına geçerken + olur.

Çarpım durumundaki sayılar eşittirin diğer tarafına bölüm olarak geçer

Bölüm durumundaki sayılar eşittirin diğer tarafına çarpım olarak geçer.

ÖRNEK: 3x + 10 = 25 işlemini yapalım.

Bilinmeyeni yalnız bırakmak için +10 karşıya −10 olarak gönderilir.

3x = 25 − 10

3x = 15

x’in başındaki çarpım durumundaki 3’ü karşıya bölüm olarak göndeririz.

x = 15/3

x = 5

Denklemin kökü 5 bulunur. Çözüm kümesi Ç = {5}

ÖRNEK: 7x − 4 = 5x + 8 işlemini yapalım.

Bilinmeyenleri eşitliğin bir tarafına, diğer sayıları diğer tarafa toplarız.

(Bilinmeyenleri, bilinmeyen nerede büyükse orada toplamak kolaylık sağlar.)

Bilinmeyenleri eşitliğin soluna, bilinen sayıları eşitliğin sağına alalım.

−4 sağa +4 olarak geçer, 5x sola −5x olarak geçer

7x − 5x = 8 + 4

2x = 12

x’in başındaki 2 katsayısını karşıya bölü olarak göndeririz.

x = 12/2

x = 6

Denklemin kökü 6 bulunur. Çözüm kümesi Ç = {6}

Kefeli Terazi

Osmanlı, 19.yy.
Bronz-Demir

İki metal kefenin, üç sıra zincirle bağlandığı bu terazinin her iki yüzünde de birer damga bulunur. Kefelerden birinin iç yüzeyinde bir tuğra ve Osmanlıca “268” rakamından oluşan bir kontrol damgası yer alır.

Osmanlı Devleti’nde arşın ve kile gibi diğer ölçü birimleriyle beraber terazinin de ölçü miktarları oldukça önemliydi. Gündelik hayatta terazinin en yoğun kullanıldığı çarşı ve pazarlarda halkı mağdur etmemek için kontroller aksatılmadan yapılırdı. Kontrollerden sorumlu görevlilere “muhtesib” denirdi ve bu görevliler diğer birçok işin yanı sıra, terazileri kontrol edip, damgalamakla da yükümlüydü. Ölçü ve tartıların ayarlarının damgalattırılmasından elde edilen gelirler ise Osmanlı Devleti’nin gelirlerinin önemli bir bölümünü oluşturuyordu.

ÖRNEK:

“Aşağıdaki terazi denge durumunda olduğuna göre 1 limon kaç gramdır?”
Bu soruyu çözmek için gerekli denklemi kuralım.

Eş kütleli limonların her biri x gram olsun. Terazinin sol kefesindeki ağırlık 5x + 100 g ve sağ
kefesindeki ağırlık 4x + 200 g’dr.

Terazi dengede olduğuna göre terazinin sol kefesindeki ağırlık, sağ kefesindeki ağırlığa eşit olmalıdır.

Öyleyse denklem 5x + 100 = 4x + 200 şeklindedir.

ÖRNEK:

“Talat, kardeşi Selin’e 20 TL, diğer kardeşi Ege’ye 30 TL verdiğinde üçünün de paraları eşit oluyor. Üçünün paraları toplam 210 TL olduğuna göre Ege’nin başlangıçta kaç lirası vardır?” Bu soruyu çözmek için gerekli denklemi kuralım.

Çözüm: Talat, Selin’e 20 TL ve Ege’ye 30 TL verdiğinde üçünün de paraları eşit olduğundan en az parası olan Ege’dir. Ege’nin parası x TL olsun. Selin’in parası x + 10 TL olur.
Talat, Ege’ye 30 TL verince Ege’nin parası x + 30 TL,
Selin’e 20 TL verince Selin’in parası da x + 10 + 20 = x + 30 TL olur.

Talat, kardeşlerine 20 + 30 = 50 TL verince geriye x + 30 lirası kalacağı için Talat’ın başlangıçta x + 30 + 50 = x + 80 lirası olması gerekir. Üçünün paraları toplam x + (x + 10) + (x + 80) = x + x + 10 + x + 80 = 3x + 90 liradır. Öyleyse denklem 3x + 90 = 210 şeklindedir.

ÖRNEK:

Bir çiftlikteki tavuk ve tavşanların toplam sayısı 25, hayvanların ayaklarının toplam sayısı 84’tür. Bu

çiftlikteki tavuk sayısını bulalım.