ÇEMBER VE DAİRE
MEB kazanımlar;
M.7.3.3. Çember ve Daire
Terimler veya kavramlar: çember, daire, merkez açı, yay, çember parçası, daire dilimi
M.7.3.3.1. Çemberde merkez açıları, gördüğü yayları ve açı ölçüleri arasındaki ilişkileri belirler. M.7.3.3.2. Çemberin ve çember parçasının uzunluğunu hesaplar.
Merkez açı ile çember parçasının uzunluğu ilişkilendirilirken orandan yararlanmaya yönelik çalışmalara yer verilir.
M.7.3.3.3. Dairenin ve daire diliminin alanını hesaplar.
Merkez açı ile daire diliminin alanı ilişkilendirilirken orandan yararlanmaya yönelik çalışmalara yer verilir.
BU KONUDA ÖĞRENECEKLERİMİZ
Çember nedir?
Daire nedir?
Merkez açı nedir?
Çember ve dairenin hayatınızdaki yeri
p nedir?
p ‘nin hayatımızdaki yeri
Çember parçasının uzunluğunun hesaplanması
Dairenin alanı
Daire diliminin alanı
Çember: Düzlemde sabit bir noktaya eşit uzaklıkta bulunan noktaların kümesinin oluşturduğu yuvarlak, geometrik şekil.
Daire: Çemberin çevrelediği 2 boyutlu alana daire denir.
Merkez Açı: Köşesi çemberin merkezinde bulunan açı.
Yay :Çember üzerindeki iki nokta arasında kalan parçaya yay denir.
Çember Parçası: Çemberin iki noktası arasında kalan parçası, çember yayı.
Daire Dilimi: Bir dairede, merkez açının iç bölgesinin gördüğü yayla sınırlı olan kısmı.
Çemberin günlük hayattaki kullanımı
Çemberin kullanıldığı dallar
Matematik
Geometri
Fizik
Mühendislik
Astronomi
Çember bilim dallarının yanı sıra günlük hayatımızda da çok kullanılır evde, okulda, sporda, iş alanlarında çember kullanıldığını görmek mümkündür.
Çembere örnekler : Simit, yüzük, bant, bilezik, basketbol potası, atom, göz, kamera mercekleri, CD, DVD, tekerlek
Tabiatta ve Mimaride Çember örnekleri
Dünya, yıldızlar, gezegenler
Amfi tiyatrolar
Çemberli taş camii 1496 da yapıldı
Selimiye camiinin proje çiziminde vb.
Daireye örnekler : Tabak, para, saat, trafik lambaları
Pi Sayısı
Pi sayısı, bir dairenin çevresinin çapına bölümü ile elde edilen irrasyonel matematik sabiti'dir. İsmini, Yunanca περίμετρον (çevre) sözcüğünün ilk harfi olan π den alır. Pi sayısı, Arşimet sabiti ve Ludolph sayısı olarak da bilinir.
Fabrice Bellard, 2010 yılında Chudnovsky algoritması kullanarak sayının ilk 2.699.999.990.000 basamağını bulmuştur. Arşimet, 3 tam 1/7 ile 3 tam 10/71 arasında bir sayı olarak hesapladı. Mısırlılar 3,1605, Babilliler 3.1/8, Batlamyus 3,14166 olarak kullandı. İtalyan Lazzarini 3,1415926, Fibonacci ise 3.141818 ile işlem yapıyordu.
Çember gibi basit bir geometrik şeklin çapına bölümüyle elde edilen pi oranı, ‘’hiçbir tekrar olmadan’’ sonsuza uzanır. Virgülden sonraki kısmın bir yerlerinde sizin uğurlu sayınız, doğum tarihiniz ve hatta 11 haneli vatandaşlık numaranız gizli. Bir de, herhangi bir alfabenin harflerini sayılarla sembolize ettiğinizi düşünün. Pi sayısının tekrar etmeyen ondalık kısmında dünya üzerinde söylenmiş ve söylenecek tüm kelimeleri bulabileceğinizi fark ettiniz mi?
Kaynaklar pi sayısı için, ilk gerçek değerin, Archimedes tarafından kullanıldığını belirtir. Archimedes; pi sayısının değerini hesaplamak için bir yöntem vermiş ve pi değerini 3+1/7 ile 3+10/71 arasında tespit etmiştir. Bu iki kesrin ondalık sayı karşılığı 3,142 ve 3,1408 dir. Bu iki değer, pi sayısının, bugünkü bilinen gerçek değerine çok yakın olan bir değerdir. Ancak Archimedes’in gençlik yıllarında Mısır’da uzun bir süre öğrenim gördüğü bilinmekte.
Archimedes’in sağlığında İskenderiye’de Öklid’den ders aldığı, Öklid’in de Eski Mısır ve Mezopotamya Babil yöresinde uzun yıllar dolaşan bir matematikçi olduğu, bilinen tarihi bir gerçektir. İskenderiyeli tarihçi Herodot, metrika adlı eserinde pi sayısı için verdiği değer 3,71’dir. Bu değer, İskenderiyeli Heron’dan sonra gelen, eski Yunan ve ortaçağ matematikçileri tarafından farklı değerler kullanılmıştır. İskenderiyeli Heron’un verdiği yaklaşık değerin de, Mezopotamya menşeli olması ve Mezopotamyalılar’dan alınma takribi bir sonucu temsil etmesi muhtemeldir.
Pi sayısı üzerinde, Babilliler’in çok eski zamanlardan beri, kullanılan yaklaşık bir bilgiye sahip oldukları anlaşılmıştır. Genel olarak pi=3 değerini kullanıyorlardı. Bazı tabletlerde pi=3,125 değeri ne de rastlanılmıştır. Aydın Sayılı, adı geçen eserinde, “Mezopotamyalılar’da, idealleştirilmiş çemberlerle üçgenlerdeki geometrik münasebetler aracılığıyla, çözümlenen problemlerde teorikleştirilmiş ve soyutlaştırılmış bir durum mevcuttur” der. Böyle problemlerde sonuç hesaplanırken pi sayısı için, değerinin kullanılmış olduğunu belirtir.
Bu değeri; Mezopotamyalılar takribi sonuçlar için kullanmaktaydılar. Daha iyi yaklaşık sonuçlar elde etmek istedikleri zaman pi=3,125 değerini uygularlardı. Ancak pi sayısının; Mısırlılar’ınkinden ve Susa tabletlerinin gösterdiği değerden oldukça daha iyi bir değeri, ilkin Archimedes tarafından bulunmuştur. Kaynaklar; Mezopotamyalılar, yamuk alanı hesabı ile, silindir ve prizma hacim hesaplarını bildiklerini ve pi için de 3 değerini kullandıklarını belirtir. Fakat eski Babil çağına ait olup, Susa’da bulunmuş olan tabletlerde pi için kabul edilen değerin 3,125 olduğu anlaşılmaktadır.
Pi sayısı başta matematik olmak üzere matematik içeren ve matematik kullanan bilim dalları, alanlarda kullanılmaktadır. Bu kapsamda,
Mimari,
Inşaat,
Hidrolik,
Elektrik-Elektronik,
Fizik,
Makine
Pi sayısı inşaat alanında yaygın olarak kullanılmaktadır. Planlama aşamasından inşa aşamasına dek her alanda kullanımı bulunmaktadır. Hidrolik hesaplamalarında hacim hesabında kullanımı oldukça yaygındır. Elektrik ve elektronik adına reaktans ve empedans hesaplamalarında; fizikte açısal hız, frekans, salınım hesaplarında kullanılmaktadır. Otomotiv ve makine sektöründeki hesaplarda, araç lastiklerinin hesabında kullanılmaktadır.
Çemberin Uzunluğu
Doğru olmayan eğrisel bir yapıya sahip yandaki gibi bir çemberin yada dairenin çevre uzunluğunu cetvelle ölçmemiz mümkün değildir. Böyle bir şeklin çevresini bir ip yardımı ile ölçebiliriz. İpi bir ucunu A noktasına koyup çemberin üzerinde ipi dolaştırarak tekrar A noktasına geliriz. Daha sonra bu iş için kullandığımız ipi cetvelin üzerinde uzatarak ölçebiliriz. Sonuç olarak bulduğumuz ip uzunluğu aynı zamanda çember ya da dairenin de uzunluğudur.
Çember Parçasının Uzunluğu
Herhangi bir daire ya da çember diliminin (parçasının) uzunluğunu hesaplamak için ise; 2 . π . r değeri bu dilimi gören merkez açının (α) ölçüsü ile çarpılıp, bulunan sonuç 360 ‘a bölünür.
ÇEMBERDE AÇI ÖZELLİKLERİ
Merkez Açı
Köşesi çemberin merkezinde olan açıya merkez açı denir.
Bir merkez açının ölçüsü gördüğü yayın ölçüsüne eşittir. m(AOB)=m(AB)=a
Çevre Açı
Köşesi çemberin üzerinde, kenarları bu çemberin kirişleri olan açıya çevre açı denir. Çevre açının ölçüsü, gördüğü yayın ölçüsünün yarısına eşittir.
Aynı yayı gören çevre açının ölçüsü merkez açının ölçüsünün yarısıdır.
m(ABC)= m(AOC)/2
Aynı yayı gören çevre açıların ölçüleri eşittir. m(BAC) = m(BEC) = m(BDC)
Çapı gören çevre açının ölçüsü 90° dir. m(AEB) = m(ACB) = m(ADB) = 90°
Teğet - Kiriş açı
Köşesi çember üzerinde, kollarından biri çemberin teğeti, diğeri çemberin kirişi olan açıya, teğet - kiriş açı denir. Teğet - kiriş açının ölçüsü, gördüğü yayın ölçüsünün yarısına eşittir.
İç Açı
Bir çemberde kesişen farklı iki kirişin oluşturduğu açıya iç açı denir.İç açının ölçüsü gördüğü yayların ölçüleri toplamının yarısına eşittir.
Dış Açı
İki kesenin, iki teğetin veya bir teğetle bir kesenin oluşturduğu açıya, çemberin bir dış açısı denir. Bir dış açının ölçüsü, gördüğü yayların ölçüleri farkının yarısına eşittir.
APB açısı AB ve CD yaylarını gördüğüne göre,
m(AB)-m(CD)=2 m(APB)=2α
[PA teğet, [PB kesen,
2α= m(AB)-m(CD)
[PA teğet ve [PC teğet , m(AC) = y ve m(CA) = x dersek
2a=y-x
Burada, x + y = 360° olduğundan,
a+ x = 180°
O merkezli yarım çemberde, m(APC) = a , m(AB) = b a+b = 90°
Kirişler Dörtgeni
Kenarları bir çemberin kirişleri olan dörtgene kirişler dörtgeni denir.Bir kirişler dörtgeninde karşılıklı açılar bütünlerdir.
m(A)+m(C)=180° m(B)+m(D)=180° Karşılıklı açılarının ölçüleri toplamı 180 olan bütün dörtgenlerin köşelerinden bir çember geçer.
Örnek Soru
Öğretmen tahtaya yukarıda verilen 20 cm yarıçaplı çemberi çizmiştir. Çemberin üzerindeki ardışık noktalar arasındaki uzaklıklar eşittir. Öykü, Ata, Nil ve İpek’in oluşan çember yayları ile ilgili yorumları aşağıdaki gibidir.
Buna göre, hangi öğrencilerin yorumları doğrudur?
Cevap:
Örnek Soru
Cevap:
Örnek soru:
Şekildeki O merkezli çemberde verilen x açısı kaç derecedir?
A) 20 B) 40 C) 60 D) 80
BOC açısı merkez açı olduğu için;
BC yayı 80 derecedir.
BC yayını gören BAC çevre açısı ise, BC yayının yarısına eşittir.
x = 80 ÷ 2 = 40 derecedir.
Doğru Cevap B
Örnek soru:
Şekildeki O merkezli çemberde x açısının değeri nedir?
A) 60 B) 90 C) 120 D) 15
0ABC açısı çevre açıdır. Bu nedenle gördüğü
AC yayı 60 . 2 = 120 derecedir.
AOC açısı ise merkez açıdır ve gördüğü AC yayının ölçüsüne eşittir.
Bu nedenle x açısı 120 derecedir.
Doğru Cevap C
Örnek soru:
Şekildeki O merkezli ve BC çaplı çemberde verilenlere göre, AC yayı kaç derecedir?
A) 35 B) 40 C) 45 D) 50
BC çap olduğuna göre, çapı gören BAC açısı 90o dir.
Üçgenin iç açıları toplamı 180o olduğundan;
s(ABC) + 90 + 65 = 180
s(ABC) + 155 = 180
s(ABC) = 25
ABC açısı çevre açı olduğu için gördüğü yay;
25 . 2 = 50o dir.
Çember soruları farklı yollardan çözülebilir.
2.çözüm yolunu kısaca açıklayalım.
Çap çemberi iki eş parçaya ayırdığı için BAC yayı 180o dir.
ACB çevre açı olduğu için gördüğü AB yayı;
65 . 2 = 130o dir.
BAC yayından AB yayını çıkarırsak AC yayını buluruz.
180 - 130 = 50o dir.
Doğru Cevap D
Dairenin Alanı
Dairenin yarıçapı r ise alanı π.r2 formülü ile hesaplanır.
Örnek soru:
Çözüm: Dairenin yarıçapı 4 birimdir.
Alan = π.r2
Alan = 3. 42 = 48 br2
Daire Diliminin Alanı
*Daire dilimine sektör denir.
Örnek soru:
Yukarıdaki şekilde uzun kenarı 64 cm ve kısa kenarı 32 cm olan dikdörtgenin içine yarı çapı 8 cm olan 8 tane daire çizilmiştir.
Buna göre, yeşil boyalı bölgenin alanı aşağıdakilerden hangisidir? (π = 3)
A- 496 br2 B- 502 br2 C- 508 br2 D- 512 br2
Çözüm: Yeşil boyalı bölgenin alanını bulabilmek için dikdörtgenin alanından dairelerin toplam alanını çıkarırız.
Dikdörtgenin alanı = 64 . 32 = 2048 cm2
1 dairenin alanı = Π.r 2 = 3. 82 = 192 cm2
Dikdörtgenin içinde 8 tane daire olduğu için; 8. 192 = 1536 cm 2
Yeşil bölgenin alanı = 2048 – 1536 = 512 cm 2 dir. Cevap D şıkkıdır.
Örnek soru:
Çözüm: Taralı bölgenin alanını bulmak için büyük dairenin alanından küçük dairenin alanı çıkarılır.
Büyük dairenin yarıçapı = 5+3 = 8 cm
Büyük dairenin alanı = π. 82 = 64 π
Küçük dairenin alanı = π. 52 = 25 π
Taralı bölgenin alanı = 64 π – 25 π = 39 π
Örnek soru:
Çözüm: Taralı alanı bulmak için dikdörtgenin alanından dairenin alanı çıkarılmalıdır.
Dairenin çapı 6 cm ise yarıçapı 3 cm dir. Dairenin alanı = π. r2 = 3. 32 = 27 cm2
Dikdörtgenin alanı = 10.6 = 60 cm 2
Taralı alan = 60 – 27 = 33 cm 2
Örnek soru:
Çözüm: Taralı alan = Dikdörtgenin alanı – Daire diliminin alanı
Daire diliminin alanı = π. r 2 .1/4 = (3.10.10) / 4 = 75 cm2
Dikdörtgenin alanı = (10+4). 10 = 140 cm2
Taralı alan = 140 – 75 = 65 cm2
Örnek soru:
Yukarıdaki şekilde verilen O merkezli dairenin yarıçapının uzunluğu 9 cm ve BOL açısının ölçüsü 80° olduğuna göre verilen daire diliminin alanı kaç cm2‘dir? (π = 3)
Çözüm: Daire diliminin alanı = π.r 2 . ∝ / 360= 3. 92 .80 / 360 =54 cm 2
KAYNAKÇA:
HAZIRLAYANLAR:
İlköğretim Matematik Öğretmenliği 3/B
Ayşe Başer 1711210045
Rabia Alak 1711210013
