Rasyonel Sayılarla İşlemler

●       M.7.1.3.1. Rasyonel sayılarla toplama ve çıkarma işlemlerini yapar.

Rasyonel sayılarda toplama işleminin değişme, birleşme, etkisiz eleman ve ters eleman özellikleri incelenir.

●       M.7.1.3.2. Rasyonel sayılarla çarpma ve bölme işlemlerini yapar.

Rasyonel sayılarda çarpma işleminin değişme, birleşme, yutan ve ters eleman özellikleri ile çarpmanın, toplama ve çıkarma işlemleri üzerine dağılma özellikleri incelenir.

●       M.7.1.3.3. Rasyonel sayılarla çok adımlı işlemleri yapar.

a) Çok adımlı işlemlerde hangi işlemin daha önce yapılacağı ayraçlarla belirtilir.

b)Kesir çizgisi kullanılarak verilen işlemlerde, işlem önceliğinin kesir çizgisine göre belirlendiği vurgulanır.

●       M.7.1.3.4. Rasyonel sayıların kare ve küplerini hesaplar.

●       M.7.1.3.5. Rasyonel sayılarla işlem yapmayı gerektiren problemleri çözer.

Bu konuda öğreneceklerimiz:

1) Rasyonel Sayılar Günlük Hayatta Nerelerde Kullanılır?

 2) Rasyonel sayılarda toplama

3) Rasyonel sayılarda çıkarma

4) Rasyonel sayılarda çarpma

5) Rasyonel sayılarda bölme

6-) Rasyonel sayılarda çok adımlı işlemler

7-)Yeni nesil soru örneği

Rasyonel Sayılar Günlük Hayatta Nerelerde Kullanılır?

Örnek vermek gerekirse yarım kilo elma derken aslında 1/2 kg elma kastedilmektedir. 25 cm aslında 1 metrenin 1/4 üdür. Kar- zarar durumları da rasyonel sayıların kullanım alanıdır. %5 kar 5/100 ile gösterilir. Hava durumunda da rasyonel sayıları kullanırız. Hava sıcaklığı – 1,2 demek -12/10 demektir. Kısacası rasyonel sayılar hayatımızın her alanında vardır.

                          Sınıflarda sürekli gördüğümüz harita ölçeklerinde karşımıza çıkar.

    Günlük hayatımızda meyve yerken bile yarım çeyrek kavramlarını kullarız aslında bunlar bir rasyonel sayı örneğidir. Yarım elma ½  yi çeyrek elma ¼ ü simgeler

                                     Rasyonel sayılarda toplama

Paydaları aynı olan rasyonel sayılarla toplama işlemi yapılırken bu sayıların payları toplanarak paya, ortak payda ise paydaya yazılır. Yapılabilecek sadeleştirmeler varsa bu sadeleştirmeler yapılarak işlemin en sade hâli elde edilir.
a, b, c tam saylar ve c ≠ 0 olmak üzere;

Toplama işlemi yapılacak rasyonel sayıların paydaları farklı ise bu sayıların paydaları eşitlenir ve yukarıda belirtilen işlemler yapılır.
a, b, c, d tam saylar ve c ≠ 0, d ≠ 0 olmak üzere;

 ÖZELLİKLERİ

  Kapalılık özelliği: iki rasyonel sayının toplamı, yine bir rasyonel sayıdır.

  Etkisiz Eleman Özelliği: ‘’0’’ tam sayısına, rasyonel sayılar kümesinde toplama          işleminin etkisiz (birim) elemanı denir.

Değişme Özelliği :

Rasyonel sayılarda toplama işleminin değişme özelliği vardır.

İki veya daha fazla sayıda rasyonel sayı toplanırken terimlerinin yerlerinin değişmesi  işlemin sonucunu değiştirmez. Buna rasyonel sayıların değişme özelliği denir.

Görüldüğü gibi yerlerini değiştirince her iki işlemin sonucu da aynı çıktı.

Birleşme Özelliği:

Rasyonel sayılarda birleşme özelliği vardır.

İkiden fazla rasyonel sayı toplanırken, sayıların kendi aralarında gruplandırılarak toplanması işlem sonucunu değiştirmez. Buna rasyonel sayıların birleşme özelliği denir.

Terimleri kendi aralarında çeşitli şekillerde gruplandırarak toplamak işlem sonucunu değiştirmemektedir.

Bu durum rasyonel sayılar kümesinde toplama işleminin birleşme özelliği vardır şeklinde ifade edilir.

 Etkisiz Eleman Özelliği:

Rasyonel sayılarda etkisiz eleman vardır.

Bir rasyonel sayının 0 ile toplanması yine aynı rasyonel sayıya eşittir. Bu nedenle 0 sayısı toplama işleminin etkisiz elemanıdır.

Ters Eleman Özelliği:

Rasyonel sayılarda her elemanın tersi vardır.

	a	rasyonel sayısının toplama işlemine göre tersi;
	b

Bir rasyonel sayının kendisinin negatif işaretlisi ile toplamı 0 sayısını verir. Bu nedenle b ≠ 0 olmak üzere;

-	a	dir.
	b

Örnek: Aşağıda verilen toplama işlemlerini yapalım.

Çözüm:

Örnek:

 

 

                 Rasyonel sayılarda çıkarma

Paydaları aynı olan iki rasyonel sayı ile çıkarma işlemi yapılırken bu sayıların paylarının farkı paya, ortak payda ise paydaya yazılır. Yapılabilecek sadeleştirmeler varsa bu sadeleştirmeler yapılarak işlemin en sade hâli elde edilir.
a, b, c tam sayılar. c ≠ 0 olmak üzere

 Çıkarma işlemi yapılacak rasyonel sayıların paydaları farklı ise bu sayıların paydaları eşitlenir ve yukarıda belirtilen işlemler yapılır.

a, b, c, d tam sayılar ve c ≠ 0, d ≠ 0 olmak üzere

Rasyonel sayılarda toplama ve çıkarmanın mantığı:

Ortak paydalar neden gerekir? 

Kesirlerde toplama veya çıkarmada standart algoritmayı kullanmak için öncelikle ortak paydayı elde etmelisiniz. Algoritma sadece ortak paydalarda işe yarayacak şekilde tasarlanmıştır çünkü o, eşit büyüklükteki parçaları toplama yada çıkarma fikrine dayalıdır.

Sizce

  Örnek soru:

Cevap

,

Örnek Soru:

Cevap

Rasyonel sayılarda çarpma işlemi

Tam sayılarda çarpma işlemi yapılırken paylar çarpılır, paya yazılır. Paydalar çarpılır paydaya yazılır. Tam sayılı kesir varsa bileşik kesre çevrilerek işlem yapılmalıdır.

Rasyonel sayılarda çarpmanın mantığı:

Doğal sayılarda çarpma işleminden faydalanarak rasyonel sayılarda çarpmayı yapabiliriz.

2x5 demek 2 tane 5in toplaması yani tekrarlı toplamadır. Bu sebeple birinci çarpan ikinci çarpandan ne kadar olduğu veya ne kadar istediğimizi anlatır.  Rasyonel sayılarda çarpma da bu şekildedir.

    Rasyonel sayılarda çarpma işleminin özellikleri

DEĞİŞME ÖZELLİĞİ:

Çarpılan sayıların yeri değişse de işlemin sonucu değişmediği için rasyonel sayılarda çarpma işleminin değişme özelliği vardır.

 

BİRLEŞME ÖZELLİĞİ:

İkiden fazla sayı çarpılırken parantez koyup önce iki tanesini çarpıp sonuçla diğerini çarpmak sonucu değiştirmez. Buna birleşme özelliği denir.

 DAĞILMA ÖZELLİĞİ:

Çarpma işlemini toplama ve çıkarma işlemi üzerine dağıtabiliriz.

ÇARPMA İŞLEMİNDE 1’İN ETKİSİ (ETKİSİZ ELEMAN):

Bir sayıyı 1 ile çarparsak sonuç sayının kendisi olur. Bu yüzden “1” çarpma işleminin etkisiz elemanıdır.

ÇARPMA İŞLEMİNDE 0’IN ETKİSİ (YUTAN ELEMAN):

Bir sayıyı sıfır ile çarparsak sonuç “0” olur. Bu yüzden “0” çarpma işleminin yutan elemanıdır.

            Rasyonel Sayılarda Bölme İşlemi

Rasyonel sayılarla bölme işlemi yapılırken bölünen rasyonel sayı aynen yazılır, bölen rasyonel sayının çarpma işlemine göre tersi alınıp bölünenle çarpılır.

                  Rasyonel sayılarda bölmenin mantığı:

Rasyonel sayılarda bölme işlemini yaparken neden ters çevirip çarparız?

İlk olarak bir doğal sayıyı bir birim kesre bölme işlemini ele alırsak;

 örneğin 5 ekmeğin içinde ne kadar yarım ekmek vardır?

5 ekmeğin içinde 10 tane yarım ekmek vardır.Bu sonucu doğal sayı ile ikinci kesrin paydasını çarparak da görebiliriz.

Bu seferde bir doğal sayıyı birim kesir olmayan bir sayıya bölme işlemini ele alırsak ;

5 bütün pizzamız var ve her birini 4 er parçaya ayırıp bizden istenen 2 li gruplandırma yapılırsa 2 dilim pizzayı bir porsiyon olarak düşünürsek 20 dilimde toplam 10 porsiyon buluruz.

Örnek Soru

                                        Cevap:

RASYONEL SAYILARDA ÇOK ADIMLI İŞLEMLER

Birden fazla işlem içeren rasyonel ifadelere rasyonel ifadelerde çok adımlı işlemler denir.Burada işlem önceliğine dikkat edilmelidir.

İŞLEM ÖNCELİĞİ

1)Öncelikle parantez içi işlemler yapılır.

2)Sonra çarpma veya bölme yapılır.

3)Daha sonra toplama veya çıkarma yapılır.

İşlem sırasındaki sıralamanın yukarıdaki gibi olmasının sebebi; çarpmanın toplamanın bir fonksiyonu olmasıdır. Bu sıralamayı takip etmek yapılan işlemlerin sonuçlarının aynı olmasını sağlar. 

İşlemde en uzun kesir çizgisinin yani eşittir hizasındaki kesir çizgisinin üstünde 1 var altında ise bir toplama işlemi var. Önce alttaki işlemi yapacağız.

Alttaki işlemin sonucunu bulduktan sonra uzun kesir çizgisinin belirttiği bölme işlemi yapılır.

 Rasyonel sayıların karesi ve küpü

Bir doğal sayının karesinin sayının kendisi ile çarpımına eşit olduğunu biliyoruz.

Bir rasyonel sayının karesi, sayının kendisi ile çarpımına eşittir.

Doğal sayılarda olduğu gibi sayının üzerine 2 yazarız. Burada 2 tüm rasyonel sayıyı etkilediği için parantez kullanmamız gereklidir. Parantez kullanmazsak eğer  farklı bir sonuç elde ederiz.

Bir rasyonel sayının karesi geometrik olarak ne anlama gelir.

 

 Kenar uzunluğu 1 birim olan bir karenin  2 bölü 3 ünü alalım

Şimdi de bunun 2 bölü 3  ünü alalım

                  

Görüldüğü gibi bir rasyonel sayının  karesi bir kenar uzunluğu bu rasyonel sayının mutlak değerine eşit olan karenin alanına eşittir.

Bir rasyonel sayının küpü de sayının  kendisi ile 2 kere çarpımına eşittir. 

             Beceri temelli bir soru örneği:

          Kaynakça

●     Van De Walle, J. A. , Karp, Karen S., Bay-Williams,Jennifer M. ,(2018) Elementary and middle school mathematics teaching developmentally  America: Person Education.

●     https://tr.wikipedia.org/wiki/%C3%96klid

●     http://www.vitaminegitim.com/ortaokul/detay/bir-rasyonel-sayinin-karesi-ve-kupu?i=TRM0204AN028

●     https://www.matematikciler.com/7-sinif-rasyonel-sayilarla-carpma-islemi/

●     http://www.sanatsalbilgi.com/DOKUMANLAR/23/7-sinif-rasyonel-toplama-ozellikleri-502.html

●     https://drive.google.com/file/d/0B6ba4DqxljRaNU1xc1FfNHdKSjQ/view

●     http://aymematematikailesi.blogspot.com/p/pano-resimleri.html

●     https://turansahin92.wordpress.com/2018/12/08/rasyonel-sayilarda-bolme-yaparken-neden-2-kesrin-pay-ve-paydasi-yer-degistirilip-carpilir/

                             Hazırlayanlar

NAHİDE SÜYÜR                        BETÜL YILDIRIM

1711210059                                1711210007